MMatematyka Krok po Kroku ← Wróć do kombinatoryki
Moduł 5 · Strategia

Dobór metody i ograniczenia

Najważniejszym krokiem w zadaniu kombinatorycznym jest zbudowanie poprawnego modelu. Nauczysz się rozpoznawać metodę, dzielić zadanie na etapy i uwzględniać dodatkowe warunki bez podwójnego liczenia.

1

Najpierw opisz pojedynczy wynik

Zanim zapiszesz wzór, odpowiedz własnymi słowami, czym jest jeden liczony obiekt. Może nim być trasa, kod, liczba, ustawienie osób albo grupa bez przydzielonych ról.

Model kombinatoryczny to sposób jednoznacznego opisania wszystkich poprawnych wyników tak, aby każdy został policzony dokładnie raz.
1. Etapy czy warianty?Etapy jednego wyniku zwykle mnożymy, a rozłączne warianty dodajemy.
2. Czy kolejność jest ważna?Sprawdź, czy zamiana elementów tworzy inny wynik.
3. Wszystkie czy część?Ustal, czy ustawiasz cały zbiór, czy wybierasz tylko część elementów.
4. Czy wolno powtarzać?Sprawdź, czy ten sam element może pojawić się na kilku miejscach.
5. Czy występuje zero?Odróżnij kod, który może zaczynać się zerem, od liczby wielocyfrowej.
6. Jakie są ograniczenia?Zaznacz wymagane elementy, zakazy, sąsiedztwo i warunki typu „co najmniej”.
Najpierw model, potem rachunek. Ten sam zestaw liczb w treści może prowadzić do permutacji, wariacji albo kombinacji. Decyduje znaczenie pojedynczego wyniku, a nie samo słowo „wybieramy”.
2

Mapa wyboru metody

SytuacjaKolejność?Powtórzenia?Metoda
Wybieramy jeden z rozłącznych wariantównie dotyczynie dotyczyreguła dodawania
Wynik powstaje w kolejnych etapachzależy od zadaniazależy od zadaniareguła mnożenia
Ustawiamy wszystkie elementytakniepermutacja
Obsadzamy część miejsc lub funkcjitakniewariacja bez powtórzeń
Budujemy ciąg lub kod i wolno powtarzaćtaktakwariacja z powtórzeniami
Wybieramy grupę bez rólnieniekombinacja
Przykład porównawczy

Trzy osoby spośród ośmiu

Trzyosobowa komisja bez ról

Kolejność nie ma znaczenia: $\binom{8}{3}=56$.

Kapitan, zastępca i sekretarz

Funkcje są różne: $V_8^3=8\cdot7\cdot6=336$.

Wniosek: te same osoby mogą tworzyć różne modele zależnie od tego, czy przypisujemy im role.

Zadanie 1

Z 9 zawodników przyznajemy złoty, srebrny i brązowy medal. Jaką metodę należy zastosować i ile jest możliwych wyników podium?

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Wybieramy tylko $3$ osoby spośród $9$.
  2. Medale oznaczają różne miejsca, więc kolejność ma znaczenie.
  3. Jeden zawodnik nie może zdobyć dwóch medali, dlatego nie ma powtórzeń.
  4. Stosujemy wariację bez powtórzeń: $9\cdot8\cdot7=504$.
Odpowiedź: właściwą metodą jest wariacja bez powtórzeń; istnieją $504$ wyniki podium.
3

Reguła dodawania i reguła mnożenia razem

Kolejne etapy jednego wyniku$$N=N_1\cdot N_2\cdots N_r$$
Rozłączne sposoby wykonania zadania$$N=N_1+N_2+\cdots+N_r$$
Przykład rozwiązany krok po kroku

Dwie rozłączne trasy

Z miasta A do miasta C można jechać przez B albo przez D. Z A do B prowadzą 3 drogi, z B do C 4 drogi, z A do D 2 drogi, a z D do C 5 dróg. Ile jest tras z A do C?

  1. Trasa przez B ma dwa etapy, więc liczymy $3\cdot4=12$ możliwości.
  2. Trasa przez D ma dwa etapy, więc liczymy $2\cdot5=10$ możliwości.
  3. Trasy przez B i przez D tworzą rozłączne warianty, dlatego ich liczby dodajemy.
$$3\cdot4+2\cdot5=12+10=22$$

Odpowiedź: istnieją $22$ trasy.

Zadanie 2

W barze wybieramy jedną z 4 zup, jedno z 5 dań głównych oraz jeden napój: jeden z 3 soków albo jedną z 2 herbat. Ile różnych zestawów można zamówić?

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Napój wybieramy spośród dwóch rozłącznych rodzajów: $3+2=5$ możliwości.
  2. W jednym zestawie muszą znaleźć się zupa, danie główne i napój.
  3. Stosujemy regułę mnożenia: $4\cdot5\cdot5=100$.
Odpowiedź: można zamówić $100$ różnych zestawów.
4

Kod a liczba wielocyfrowa

W kodzie każda pozycja może zawierać zero. W liczbie wielocyfrowej pierwsza cyfra musi być różna od zera. Pozostałe ograniczenia, takie jak parzystość, dotyczą zwykle ostatniej cyfry.

Przykład porównawczy krok po kroku

Cztery cyfry z powtórzeniami

Czterocyfrowy kod

Każda pozycja ma $10$ możliwości, także pierwsza: $10^4=10000$.

Dodatnia liczba czterocyfrowa

Pierwsza cyfra ma $9$ możliwości, a każda następna $10$: $9\cdot10^3=9000$.

Różnica: kod $0123$ jest poprawny, ale nie jest liczbą czterocyfrową.

Zadanie 3

Ile jest dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, jeżeli cyfry mogą się powtarzać?

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Cyfrę tysięcy wybieramy spośród $1,2,\ldots,9$: $9$ możliwości.
  2. Cyfry setek i dziesiątek mają po $10$ możliwości.
  3. Ostatnia cyfra musi należeć do zbioru $\{0,2,4,6,8\}$: $5$ możliwości.
  4. $9\cdot10\cdot10\cdot5=4500$.
Odpowiedź: istnieje $4500$ takich liczb.
5

Dopełnienie przy warunku „co najmniej jeden”

Bezpośrednie liczenie wyników z jednym, dwoma, trzema i kolejnymi wskazanymi elementami bywa długie. Wtedy od wszystkich wyników odejmujemy te, w których wskazany element nie występuje ani razu.

Schemat dopełnienia$$N(\text{co najmniej jeden})=N(\text{wszystkie})-N(\text{ani jeden}).$$
Przykład rozwiązany krok po kroku

PIN zawierający zero

Ile czterocyfrowych kodów PIN zawiera co najmniej jedno zero?

  1. Wszystkich kodów jest $10^4=10000$.
  2. Kod bez zera tworzymy z $9$ cyfr: $9^4=6561$.
  3. Odejmujemy kody bez zera od wszystkich kodów.
$$10^4-9^4=3439$$

Odpowiedź: istnieje $3439$ takich kodów.

Zadanie 4

Czteroznakowy kod tworzymy z 6 znaków, które mogą się powtarzać. Ile kodów zawiera co najmniej jedno powtórzenie?

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Wszystkich kodów jest $6^4=1296$.
  2. Kody bez powtórzeń liczymy jako $6\cdot5\cdot4\cdot3=360$.
  3. Warunki „co najmniej jedno powtórzenie” i „wszystkie znaki różne” są dopełnieniami.
  4. $1296-360=936$.
Odpowiedź: istnieje $936$ kodów z co najmniej jednym powtórzeniem.
6

Bloki i zakazane sąsiedztwo

Elementy, które muszą stać obok siebie, traktujemy jako jeden blok. Jeżeli nie mogą stać obok siebie, często odejmujemy ustawienia z blokiem od wszystkich ustawień.

Przykład rozwiązany krok po kroku

Dwie osoby obok siebie

Siedem osób ustawia się w szeregu. Ania i Bartek mają stać obok siebie. Ile jest ustawień?

  1. Parę Ania-Bartek traktujemy jako jeden blok.
  2. Blok i pozostałe $5$ osób dają $6$ obiektów, które ustawiamy na $6!$ sposobów.
  3. Wewnątrz bloku możliwe są kolejności AB i BA, czyli $2!$ możliwości.
$$6!\cdot2!=720\cdot2=1440$$

Odpowiedź: warunek spełnia $1440$ ustawień.

Zadanie 5

Siedem osób ustawia się w szeregu. Ania i Bartek nie mogą stać obok siebie. Ile jest ustawień?

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Wszystkich ustawień jest $7!=5040$.
  2. Ustawień, w których Ania i Bartek stoją obok siebie, jest $6!\cdot2!=1440$.
  3. Stosujemy dopełnienie: $5040-1440=3600$.
Odpowiedź: istnieje $3600$ poprawnych ustawień.
7

Rozłączne przypadki przy składzie grupy

Warunki „co najmniej” i „co najwyżej” tłumaczymy na konkretne możliwe składy. Wewnątrz jednego składu mnożymy wybory z grup, a wyniki różnych składów dodajemy.

Przykład rozwiązany krok po kroku

Co najmniej dwie kobiety

Z 5 kobiet i 6 mężczyzn wybieramy grupę czteroosobową. Ile grup zawiera co najmniej dwie kobiety?

2 kobiety i 2 mężczyzn

$\binom{5}{2}\binom{6}{2}=10\cdot15=150$.

3 kobiety i 1 mężczyzna

$\binom{5}{3}\binom{6}{1}=10\cdot6=60$.

4 kobiety

$\binom{5}{4}\binom{6}{0}=5\cdot1=5$.

$$150+60+5=215$$

Odpowiedź: warunek spełnia $215$ grup.

Zadanie 6

Z 9 dorosłych i 3 juniorów wybieramy grupę pięcioosobową. Ile grup zawiera co najmniej jednego juniora?

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Wszystkich grup jest $\binom{12}{5}=792$.
  2. Grupy bez juniorów wybieramy spośród $9$ dorosłych: $\binom{9}{5}=126$.
  3. Dopełnienie daje $792-126=666$.
Odpowiedź: istnieje $666$ takich grup.
8

Model mieszany: kolejność i grupa w jednym zadaniu

Nie każde zadanie pasuje do jednego gotowego wzoru. Jeżeli część osób otrzymuje różne funkcje, a pozostałe tworzą grupę bez ról, łączymy wariację z kombinacją.

Przykład rozwiązany krok po kroku

Kapitan i dwuosobowa komisja

Z 8 uczniów wybieramy kapitana oraz dwuosobową komisję. Kapitan nie może należeć do komisji, a członkowie komisji nie mają osobnych funkcji. Ile jest możliwości?

  1. Kapitana wybieramy na $8$ sposobów.
  2. Po wyborze kapitana pozostaje $7$ osób.
  3. Dwuosobową komisję bez ról wybieramy na $\binom{7}{2}=21$ sposobów.
  4. Oba etapy muszą nastąpić, dlatego ich liczby mnożymy.
$$8\binom{7}{2}=8\cdot21=168$$

Odpowiedź: istnieje $168$ wyników.

Zadanie 7

Z 10 osób wybieramy przewodniczącego, zastępcę oraz dwuosobową komisję. Żadna osoba nie może pełnić dwóch ról, a członkowie komisji są równorzędni. Ile jest możliwości?

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Przewodniczącego wybieramy na $10$ sposobów.
  2. Zastępcę wybieramy spośród pozostałych osób na $9$ sposobów.
  3. Do komisji wybieramy $2$ osoby spośród pozostałych $8$: $\binom{8}{2}=28$.
  4. $10\cdot9\cdot28=2520$.
Odpowiedź: istnieje $2520$ możliwości.
9

Pełny schemat rozwiązania i kontrola błędów

  1. Opisz jeden wynik. Nie zaczynaj od wzoru.
  2. Wypisz ograniczenia. Zwróć uwagę na kolejność, powtórzenia, zero, sąsiedztwo i wymagany skład.
  3. Podziel rozwiązanie na etapy lub rozłączne przypadki.
  4. Dobierz metodę dla każdej części. Użyj reguły zliczania, permutacji, wariacji, kombinacji, bloku albo dopełnienia.
  5. Połącz wyniki. Etapy mnożysz, rozłączne przypadki dodajesz.
  6. Sprawdź kompletność. Każdy poprawny wynik powinien wystąpić i zostać policzony tylko raz.
Typowe błędy
  • Wybór wzoru na podstawie pojedynczego słowa z treści zadania.
  • Dodawanie etapów jednego wyniku zamiast ich mnożenia.
  • Mnożenie rozłącznych przypadków zamiast ich dodawania.
  • Stosowanie kombinacji mimo przydzielania różnych ról.
  • Pomijanie zera na dalszych pozycjach liczby lub dopuszczanie go na pierwszej.
  • Nieuwzględnienie kolejności wewnątrz bloku.
  • Stosowanie dopełnienia względem niewłaściwego zbioru wszystkich wyników.
  • Tworzenie przypadków, które częściowo się pokrywają.
Szybka kontrola wyniku
  • Wynik musi być liczbą całkowitą i nieujemną.
  • Po dodaniu ograniczenia liczba wyników nie może wzrosnąć.
  • Suma rozłącznych przypadków nie może przekroczyć liczby wszystkich wyników bez ograniczeń.
10

Zadania podsumowujące

  1. Ile pięcioznakowych kodów można utworzyć z 4 znaków, jeżeli znaki mogą się powtarzać?
  2. Z 9 zawodników przyznajemy trzy różne medale. Ile jest wyników podium?
  3. Z 7 kobiet i 6 mężczyzn wybieramy czteroosobowy zespół złożony dokładnie z 2 kobiet i 2 mężczyzn. Ile jest zespołów?
  4. Sześć osób ustawia się w szeregu. Dwie wskazane osoby nie mogą stać obok siebie. Ile jest ustawień?

Rozwiązania krok po kroku

Zadanie 1
  1. Kod ma $5$ pozycji.
  2. Na każdej pozycji mamy $4$ możliwości, ponieważ powtórzenia są dozwolone.
  3. Stosujemy wariację z powtórzeniami: $4^5=1024$.
Odpowiedź: $1024$ kody.
Zadanie 2
  1. Medale są różne, więc kolejność ma znaczenie.
  2. Jeden zawodnik nie może zdobyć dwóch medali.
  3. Stosujemy wariację bez powtórzeń: $9\cdot8\cdot7=504$.
Odpowiedź: $504$ wyniki podium.
Zadanie 3
  1. Dwie kobiety wybieramy na $\binom{7}{2}=21$ sposobów.
  2. Dwóch mężczyzn wybieramy na $\binom{6}{2}=15$ sposobów.
  3. $21\cdot15=315$.
Odpowiedź: $315$ zespołów.
Zadanie 4
  1. Wszystkich ustawień jest $6!=720$.
  2. Ustawień ze wskazanymi osobami obok siebie jest $5!\cdot2!=240$.
  3. Stosujemy dopełnienie: $720-240=480$.
Odpowiedź: $480$ ustawień.