Czym jest funkcja?
Funkcja to nic innego jak maszynka, która przetwarza dane wejściowe \(x\) według określonego algorytmu i daje wynik \(y\), czyli \(f(x)\).
Taka funkcja podwaja dowolną wartość argumentu \(x\). Jeśli wrzucimy do maszynki liczbę \(2\), otrzymamy \(4\). Jeśli wrzucimy \(3\), otrzymamy \(6\).
| \(x\) | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| \(f(x)=2x\) | \(2\cdot 2=4\) | \(2\cdot 3=6\) | \(2\cdot 4=8\) |
Funkcja każdemu argumentowi przyporządkowuje dokładnie jedną wartość. Oznacza to, że dla jednego \(x\) nie mogą wyjść dwa różne wyniki.
Można to porównać do numeru telefonu — jeden numer prowadzi do jednego, konkretnego odbiorcy. Tak samo jeden argument funkcji prowadzi do jednej wartości funkcji.
Do zapamiętania
\(x\) to liczba, którą podstawiamy do wzoru funkcji.
\(y\) albo \(f(x)\) to wynik działania po podstawieniu \(x\).
Funkcję możemy zapisywać na dwa bardzo podobne sposoby:
\[ f(x)=2x+3 \] \[ y=2x+3 \]Oba zapisy mówią właściwie to samo. Zapis \(f(x)\) mocniej podkreśla, że wartość zależy od argumentu \(x\).
Dziedzina funkcji
Dziedzina to wszystkie wartości \(x\), dla których funkcja ma sens. Innymi słowy: są to wszystkie liczby, które wolno podstawić do wzoru funkcji.
W tej funkcji nie możemy podstawić \(x=0\), ponieważ wtedy otrzymalibyśmy dzielenie przez zero:
\[ \frac{1}{0} \]A dzielenie przez zero jest niewykonalne.
Dziedziną funkcji \(f(x)=\frac{1}{x}+4\) są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz zera.
\[ D=\mathbb{R}\setminus\{0\} \]Sprawdzamy, czy pojawia się coś, co może być zabronione.
Najczęściej uważamy na dzielenie przez zero oraz pierwiastki parzystego stopnia.
Podajemy wszystkie wartości \(x\), które można bezpiecznie podstawić.
Zbiór wartości funkcji
Zbiór wartości to wszystkie liczby \(y\), które możemy otrzymać po podstawieniu różnych wartości \(x\) do wzoru funkcji.
Dla funkcji:
\[ f(x)=2x \]jeśli przyjmiemy, że \(x\) może być dowolną liczbą rzeczywistą, to również \(f(x)\) może przyjmować dowolną wartość rzeczywistą.
\[ W_f=\mathbb{R} \]Jeśli funkcja jest określona tylko na pewnym przedziale, na przykład:
\[ x\in\langle 0,5\rangle \]to zbiór wartości również może być ograniczony, ponieważ podstawiamy tylko liczby z tego przedziału. Do dokładniejszego wyznaczania zbioru wartości wrócimy później, przy omawianiu wykresów funkcji.
Dziedzina mówi, jakie liczby możemy włożyć do maszynki jako \(x\). Zbiór wartości mówi, jakie wyniki mogą z tej maszynki wyjść jako \(y\).
Miejsce zerowe funkcji
Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość zero.
Szukamy więc takiego \(x\), który po podstawieniu do wzoru funkcji da wynik \(0\).
Wyznacz miejsce zerowe funkcji:
\[ f(x)=4x+4 \]Szukamy takiego \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, czyli \(f(x)=0\). Przyrównujemy więc wzór funkcji do zera.
Odpowiedź:
\[ x=-1 \]Zapisz równanie \(f(x)=0\).
Przekształć je tak, aby po jednej stronie został sam \(x\).
Otrzymana liczba to miejsce zerowe funkcji.
Argument dla podanej wartości funkcji
W tego typu zadaniach wiemy, jaką wartość ma przyjąć funkcja, ale nie wiemy, dla jakiego argumentu \(x\) tak się dzieje.
Dla jakiego argumentu funkcja:
\[ f(x)=3x+7 \]przyjmuje wartość \(16\)?
Bierzemy wzór funkcji i przyrównujemy go do podanej wartości, czyli do liczby \(16\).
Odpowiedź:
\[ x=3 \]Funkcja przyjmuje wartość \(16\) dla argumentu \(x=3\).
Jeśli w zadaniu pytają: „dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość...?”, to najczęściej układamy równanie:
\[ f(x)=\text{podana wartość} \]Wartość funkcji dla danego argumentu
Tutaj znamy argument \(x\). Wystarczy podstawić podaną liczbę do wzoru funkcji i wykonać obliczenia.
Wyznacz wartość funkcji:
\[ f(x)=5x+8 \]dla argumentu \(x=3\).
Do wzoru funkcji w miejsce \(x\) podstawiamy liczbę \(3\).
Odpowiedź:
\[ f(3)=23 \]Sprawdź, jaką liczbę masz podstawić za \(x\).
Każde \(x\) w funkcji zastąp podaną wartością.
Otrzymany wynik to wartość funkcji dla danego argumentu.
Czy punkt należy do wykresu funkcji?
Często w zadaniach trzeba sprawdzić, czy dany punkt leży na wykresie funkcji. Robimy to przez podstawienie pierwszej współrzędnej punktu do wzoru funkcji.
Punkt zapisujemy zwykle w postaci:
\[ A=(x,y) \]Pierwsza współrzędna punktu to argument funkcji, czyli \(x\). Druga współrzędna punktu to wartość funkcji, czyli \(y\).
Punkt \(A=(x,y)\) należy do wykresu funkcji, jeśli po podstawieniu pierwszej współrzędnej do wzoru funkcji otrzymamy drugą współrzędną.
\[ f(x)=y \]Sprawdź, jaka jest pierwsza współrzędna \(x\), a jaka druga współrzędna \(y\).
Oblicz wartość funkcji dla pierwszej współrzędnej punktu.
Jeśli otrzymany wynik jest równy drugiej współrzędnej, punkt należy do wykresu.
Sprawdź, czy punkt \(A=(2,7)\) należy do wykresu funkcji:
\[ f(x)=3x+1 \]Pierwsza współrzędna punktu to \(x=2\). Podstawiamy więc \(2\) do wzoru funkcji i sprawdzamy, czy otrzymamy drugą współrzędną punktu, czyli \(7\).
Otrzymaliśmy:
\[ f(2)=7 \]Druga współrzędna punktu \(A\) również wynosi \(7\), więc punkt należy do wykresu funkcji.
\[ A=(2,7) \]Odpowiedź: punkt \(A\) należy do wykresu funkcji.
Sprawdź, czy punkt \(B=(4,10)\) należy do wykresu funkcji:
\[ f(x)=2x+1 \]Pierwsza współrzędna punktu to \(x=4\). Podstawiamy \(4\) do wzoru funkcji i sprawdzamy, czy otrzymamy drugą współrzędną punktu, czyli \(10\).
Otrzymaliśmy:
\[ f(4)=9 \]Druga współrzędna punktu \(B\) wynosi \(10\), a nie \(9\), więc punkt nie należy do wykresu funkcji.
\[ B=(4,10) \]Odpowiedź: punkt \(B\) nie należy do wykresu funkcji.
Interpretacja funkcji z kilku źródeł informacji
Tę samą zależność można przedstawić słowami, w tabeli, na wykresie albo za pomocą wzoru. Każda reprezentacja pokazuje tę samą funkcję, ale ułatwia odczytanie innych informacji.
Reprezentacja funkcji to sposób przedstawienia zależności między argumentem \(x\) a wartością \(f(x)\). Jeżeli dwa źródła opisują tę samą funkcję, to dla każdego wspólnego argumentu muszą wskazywać tę samą wartość.
\[ x=a \quad\Longrightarrow\quad f(a)=b \quad\Longleftrightarrow\quad (a,b)\text{ leży na wykresie.} \]Wyjaśnia znaczenie zmiennych, jednostki, wartość początkową i sposób zmiany.
Podaje dokładne pary \((x,f(x))\), ale zwykle tylko dla wybranych argumentów.
Pokazuje kształt zależności, tempo zmian i przybliżone wartości w całym zakresie.
Pozwala dokładnie obliczyć wartość funkcji także dla argumentów, których nie ma w tabeli.
Zdanie „dla argumentu \(2\) funkcja przyjmuje wartość \(7\)” można zapisać jako:
\[ f(2)=7, \qquad (2,7), \qquad \begin{array}{c|c}x&f(x)\\\hline 2&7\end{array} \]Na wykresie odpowiada temu punkt o współrzędnych \((2,7)\). Zawsze porównujemy informacje dla tego samego argumentu i z uwzględnieniem jednostek.
Schemat krok po kroku
Zapisz, co oznaczają \(x\) i \(f(x)\), w jakich są jednostkach oraz jaka jest dziedzina w danej sytuacji.
Odczytaj tę samą wartość \(x\) z tabeli, wykresu, opisu i wzoru. Nie porównuj wyników dla różnych argumentów.
W tabeli wybierz wiersz, na wykresie punkt, a we wzorze oblicz \(f(x)\).
Jednakowe wyniki potwierdzają zgodność. Inny wynik wskazuje błąd albo inną funkcję.
Zapisz odpowiedź pełnym zdaniem, podaj jednostkę i wyjaśnij znaczenie współczynników lub punktów charakterystycznych.
Cena przejazdu taksówką zależy od liczby przejechanych kilometrów. Porównaj poniższe źródła, sprawdź ich zgodność dla \(x=4\), oblicz cenę przejazdu na dystansie \(5\) km i zinterpretuj liczby \(3\) oraz \(6\) we wzorze.
Opłata początkowa wynosi 6 zł, a każdy przejechany kilometr kosztuje 3 zł.
Argument \(x\) oznacza dystans w kilometrach, a \(C(x)\) — cenę w złotych.
| \(x\) [km] | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) [zł] | 6 | 12 | 18 | 24 |
Rozwiązanie
Krok 1. Ustalamy zmienne i jednostki. \(x\) to dystans w kilometrach, a \(C(x)\) to cena w złotych.
Krok 2. Porównujemy źródła dla wspólnego argumentu \(x=4\).
- Z opisu: \(6\text{ zł}+4\cdot 3\text{ zł}=18\text{ zł}\).
- Z tabeli: w kolumnie \(x=4\) odczytujemy \(C(4)=18\).
- Z wykresu: dla \(x=4\) leży na nim punkt \((4,18)\).
- Ze wzoru: \(C(4)=3\cdot 4+6=18\).
Krok 3. Obliczamy cenę dla \(5\) km. Tej wartości nie ma w tabeli, dlatego najdokładniej użyć wzoru:
\[ C(5)=3\cdot 5+6=15+6=21. \]Na wykresie dla \(x=5\) również odczytalibyśmy wysokość \(y=21\).
Krok 4. Interpretujemy współczynniki.
- Liczba \(6=C(0)\) oznacza opłatę początkową, naliczaną jeszcze przed przejechaniem pierwszego kilometra.
- Liczba \(3\) oznacza wzrost ceny o 3 zł po każdym kolejnym kilometrze.
Odpowiedź: źródła są zgodne; przejazd na dystansie \(5\) km kosztuje \(21\) zł.
Karnet do klubu wymaga jednorazowej opłaty 5 zł, a każde wejście kosztuje 4 zł. Poniżej podano opis, wzór, tabelę i wykres. Wskaż niezgodną informację, popraw ją, a następnie oblicz koszt \(6\) wejść.
Do opłaty stałej 5 zł dodajemy 4 zł za każde wejście.
| \(n\) [wejścia] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(K(n)\) [zł] | 5 | 9 | 13 | 18 | 21 |
Rozwiązanie
Krok 1. Sprawdzamy kolejne argumenty. Dla \(n=0,1,2\) i \(4\) tabela zgadza się ze wzorem oraz wykresem.
Krok 2. Kontrolujemy podejrzaną wartość dla \(n=3\).
\[ K(3)=4\cdot 3+5=12+5=17. \]- Opis prowadzi do kosztu \(5+3\cdot 4=17\) zł.
- Wzór daje \(K(3)=17\).
- Na wykresie znajduje się punkt \((3,17)\).
- W tabeli wpisano \(18\), więc właśnie ta komórka jest błędna.
Krok 3. Obliczamy koszt \(6\) wejść.
\[ K(6)=4\cdot 6+5=24+5=29. \]Dziedzina składa się tu z liczb całkowitych nieujemnych, ponieważ liczba wejść nie może wynosić na przykład \(2{,}5\).
Odpowiedź: błędna jest wartość \(18\) w tabeli — należy ją zastąpić liczbą \(17\). Koszt \(6\) wejść wynosi \(29\) zł.
- Porównywanie różnych argumentów: zestawienie \(f(2)\) z punktem o pierwszej współrzędnej \(3\).
- Zamiana współrzędnych: punkt \((a,b)\) oznacza \(x=a\) i \(f(a)=b\), a nie odwrotnie.
- Pomijanie wartości początkowej: we wzorze \(f(x)=ax+b\) liczba \(b=f(0)\) często opisuje opłatę lub stan początkowy.
- Odczyt wykresu bez skali: przed odczytem sprawdź, ile oznacza jedna kratka na każdej osi.
- Brak jednostek i kontekstu: sama liczba nie wystarcza, jeśli zadanie dotyczy złotych, kilometrów lub czasu.
- Bezwarunkowe zaufanie jednemu źródłu: gdy reprezentacje są sprzeczne, sprawdź wspólny argument i wskaż konkretną niezgodność.
Krótkie ćwiczenia
- Kurier pobiera 8 zł opłaty stałej i 2 zł za każdy kilometr, więc \(P(x)=2x+8\). W tabeli dla \(x=5\) pozostawiono puste miejsce, a na wykresie zaznaczono punkt \(A=(5,18)\). Uzupełnij tabelę i oceń, czy punkt \(A\) jest zgodny z opisem oraz wzorem.
- Funkcję opisano słowami: „od liczby 6 odejmujemy argument”. Podano wzór \(g(x)=6-x\), w tabeli parę \((2,5)\), a na wykresie punkt \((2,4)\). Która reprezentacja zawiera błąd?
- W zbiorniku jest początkowo 50 l wody, a w każdej minucie ubywa 5 l. Wzór ma postać \(V(t)=50-5t\), tabela zawiera parę \((4,30)\), a wykres przecina oś czasu w punkcie \((10,0)\). Wyjaśnij znaczenie liczb \(50\) i \(-5\), sprawdź wpis w tabeli i podaj czas opróżnienia zbiornika.
Sprawdź odpowiedzi
- \(P(5)=2\cdot 5+8=18\) zł. W tabeli wpisujemy \(18\); punkt \(A=(5,18)\) jest zgodny ze wszystkimi źródłami.
- \(g(2)=6-2=4\). Opis, wzór i wykres są zgodne, natomiast błędna jest tabela: zamiast \((2,5)\) powinno być \((2,4)\).
- \(50\) l to stan początkowy, a \(-5\) l/min to tempo ubywania wody. \(V(4)=50-20=30\) l, więc tabela jest poprawna. Zbiornik opróżni się po \(10\) minutach.
Cel jest osiągnięty, jeśli potrafisz wybrać wspólny argument, odczytać odpowiadającą mu wartość z co najmniej dwóch reprezentacji, porównać wyniki i wyjaśnić je w kontekście zadania.
Mini kalkulator: sprawdź punkt na wykresie
Wpisz współczynniki funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\) oraz punkt \(P=(x,y)\). Kalkulator pokaże, czy punkt należy do wykresu funkcji.
Podsumowanie lekcji
Na tym etapie najważniejsze jest rozumienie, co oznacza argument, wartość funkcji oraz jak podstawiać liczby do wzoru funkcji.
Przyporządkowuje każdemu argumentowi \(x\) dokładnie jedną wartość \(f(x)\).
To wszystkie wartości \(x\), które można podstawić do wzoru funkcji.
To wszystkie możliwe wyniki \(y\), które funkcja może przyjąć.
To taki argument \(x\), dla którego \(f(x)=0\).
Podstawiamy podaną liczbę pod \(x\) i obliczamy \(f(x)\).
Punkt \((x,y)\) należy do wykresu, jeśli po podstawieniu \(x\) otrzymamy \(y\).
Opis, tabela, wykres i wzór są zgodne, jeśli dla tego samego argumentu wskazują tę samą wartość funkcji.