M Matematyka Krok po Kroku Funkcje i ich wykresy

Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna

W tej lekcji zobaczysz, czym jest funkcja wykładnicza, czym jest funkcja logarytmiczna oraz dlaczego ich wykresy są ze sobą tak mocno powiązane. Szczególnie ważna jest tutaj relacja odwrotności i symetria względem prostej \(y=x\).

Wykładnicza \(f(x)=a^x\)
Logarytmiczna \(f(x)=\log_a x\)
Odwrotność symetria względem \(y=x\)
Rysownik wybierz podstawę \(a\)

Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza to taka funkcja, w której zmienna znajduje się w wykładniku potęgi.

Definicja
Funkcję wykładniczą zapisujemy w postaci: \[ f(x)=a^x \] gdzie: \[ a\gt 0 \quad \text{oraz} \quad a\neq 1 \]

W tej funkcji podstawa \(a\) jest stałą dodatnią różną od \(1\), natomiast zmienna \(x\) znajduje się w wykładniku. To bardzo ważna różnica w porównaniu z funkcją potęgową, np. \(f(x)=x^2\), gdzie zmienna znajduje się w podstawie potęgi.

💡 Komentarz
Dla funkcji wykładniczej najważniejsze jest to, czy podstawa \(a\) jest większa od \(1\), czy znajduje się między \(0\) a \(1\). Od tego zależy, czy wykres rośnie, czy maleje.
Gdy \(a\gt 1\) Funkcja wykładnicza jest rosnąca. Przykład: \(f(x)=2^x\).
Gdy \(0\lt a\lt 1\) Funkcja wykładnicza jest malejąca. Przykład: \(f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x\).

Najważniejsze własności funkcji wykładniczej

Każda funkcja wykładnicza \(f(x)=a^x\), przy \(a\gt0\) i \(a\neq1\), ma kilka stałych cech.

Dziedzina \[ D=\mathbb{R} \] Funkcję można obliczyć dla każdego rzeczywistego argumentu \(x\).
Zbiór wartości \[ y\gt0 \] Wartości funkcji wykładniczej są zawsze dodatnie.
Punkt charakterystyczny \[ (0,1) \] Ponieważ dla każdej dozwolonej podstawy \(a^0=1\).
Oś \(OX\) Funkcja wykładnicza nie przecina osi \(OX\), ponieważ \(a^x\gt0\).
Ważne
Funkcja wykładnicza może bardzo szybko rosnąć albo bardzo szybko zbliżać się do zera, ale nigdy nie przyjmuje wartości równej \(0\).

Funkcja wykładnicza malejąca i rosnąca

Wykres funkcji wykładniczej najlepiej zacząć od policzenia kilku charakterystycznych punktów.

Przykład: funkcja wykładnicza malejąca
\(0\lt a\lt1\)

Rozważmy funkcję:

\[ f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x \]

Wyznaczamy wartości dla kilku argumentów:

\[ \begin{aligned} f(-1)&=\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3 \\ f(0)&=\left(\frac{1}{3}\right)^0=1 \\ f(1)&=\left(\frac{1}{3}\right)^1=\frac{1}{3} \end{aligned} \]

Zaznaczamy punkty:

\[ (-1,3), \quad (0,1), \quad \left(1,\frac{1}{3}\right) \]
Wykres funkcji \(f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x\)
funkcja malejąca
Komentarz
Ponieważ podstawa \(\frac{1}{3}\) znajduje się między \(0\) a \(1\), funkcja jest malejąca. Im większy argument \(x\), tym mniejsza wartość funkcji.
Przykład: funkcja wykładnicza rosnąca
\(a\gt1\)

Rozważmy funkcję:

\[ f(x)=2^x \]

Wyznaczamy wartości funkcji dla kilku punktów:

\[ \begin{aligned} f(-1)&=2^{-1}=\frac{1}{2} \\ f(0)&=2^0=1 \\ f(1)&=2^1=2 \end{aligned} \]

Zaznaczamy punkty:

\[ \left(-1,\frac{1}{2}\right), \quad (0,1), \quad (1,2) \]
Wykres funkcji \(f(x)=2^x\)
funkcja rosnąca
💡 Komentarz
Ponieważ podstawa \(2\) jest większa od \(1\), funkcja jest rosnąca. Im większy argument \(x\), tym większa wartość funkcji.

Funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna jest ściśle związana z funkcją wykładniczą.

Definicja
Funkcję logarytmiczną zapisujemy w postaci: \[ f(x)=\log_a x \] gdzie: \[ a\gt0, \quad a\neq1, \quad x\gt0 \]

Wartość \(\log_a x\) oznacza wykładnik potęgi, do którego trzeba podnieść podstawę \(a\), aby otrzymać liczbę \(x\).

Związek logarytmu z potęgą
\[ \log_a x=y \] dokładnie wtedy, gdy: \[ a^y=x \]
Przykład: jak rozumieć logarytm?
zamiana na potęgę

Weźmy logarytm:

\[ \log_2 8 \]

Pytamy: do której potęgi trzeba podnieść \(2\), aby otrzymać \(8\)?

\[ 2^3=8 \]

Dlatego:

\[ \log_2 8=3 \]
Komentarz
Logarytm nie jest nowym „magicznym działaniem”. To pytanie o wykładnik potęgi.

Najważniejsze własności funkcji logarytmicznej

W funkcji logarytmicznej bardzo ważna jest dziedzina, ponieważ logarytmujemy tylko liczby dodatnie.

Dziedzina \[ x\gt0 \] Funkcja logarytmiczna jest określona tylko dla dodatnich argumentów.
Zbiór wartości \[ \mathbb{R} \] Funkcja logarytmiczna może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste.
Punkt charakterystyczny \[ (1,0) \] Ponieważ \(\log_a 1=0\).
Oś \(OY\) Funkcja logarytmiczna nie przecina osi \(OY\), ponieważ nie jest określona dla \(x\leq0\).
Gdy \(a\gt1\) Funkcja logarytmiczna jest rosnąca. Przykład: \(f(x)=\log_2 x\).
Gdy \(0\lt a\lt1\) Funkcja logarytmiczna jest malejąca. Przykład: \(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x\).
Uwaga
Wykres funkcji logarytmicznej zbliża się do osi \(OY\), ale jej nie przecina. Argument logarytmu musi być dodatni.

Funkcja logarytmiczna jako odwrotność funkcji wykładniczej

Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie.

Para funkcji odwrotnych
\[ f(x)=a^x \] oraz: \[ f^{-1}(x)=\log_a x \]

Oznacza to, że jeśli funkcja wykładnicza przypisuje argumentowi \(x\) wartość \(y\), to funkcja logarytmiczna „odwraca” ten proces.

1
Funkcja wykładnicza: \[ y=2^x \]
2
Zamieniamy zmienne miejscami: \[ x=2^y \]
3
Zapisujemy \(y\) za pomocą logarytmu: \[ y=\log_2 x \]
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
symetria względem prostej \(y=x\)
💡 Komentarz
Wykresy funkcji \(f(x)=2^x\) oraz \(f^{-1}(x)=\log_2 x\) są symetryczne względem prostej \(y=x\). Punkt \((0,1)\) z wykresu funkcji wykładniczej odpowiada punktowi \((1,0)\) z wykresu funkcji logarytmicznej.

Rysownik funkcji wykładniczej i logarytmicznej

Wybierz podstawę \(a\), typ wykresu i zobacz, jak zmienia się funkcja.

Aktualnie rysujemy funkcje dla podstawy \(a=2\).
Rysownik wykresów
niebieski — wykładnicza, czerwony — logarytmiczna
Jak interpretować wynik?
Jeżeli \(a\gt1\), obie funkcje są rosnące. Jeżeli \(0\lt a\lt1\), obie funkcje są malejące. W trybie porównania zobaczysz też prostą \(y=x\), względem której wykresy są symetryczne.

Podsumowanie

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna opisują dwa odwrotne procesy: potęgowanie i szukanie wykładnika.

Funkcja wykładnicza \[ f(x)=a^x \] Zmienna znajduje się w wykładniku.
Funkcja logarytmiczna \[ f(x)=\log_a x \] Wartość logarytmu mówi, do której potęgi podnieść podstawę.
Wykładnicza przechodzi przez \[ (0,1) \] ponieważ \(a^0=1\).
Logarytmiczna przechodzi przez \[ (1,0) \] ponieważ \(\log_a 1=0\).
Dla \(a\gt1\) Obie funkcje są rosnące.
Dla \(0\lt a\lt1\) Obie funkcje są malejące.
Odwrotność \[ y=a^x \quad \text{i} \quad y=\log_a x \] to funkcje odwrotne.
Symetria Wykresy funkcji odwrotnych są symetryczne względem prostej \(y=x\).